Доказать, что основание равнобедренного треугольника параллельно биссектрисе одного из внешних углов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения, обозначим равные стороны равнобедренного треугольника как $AB=AC$. Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ треугольника $ABC$ в точке $D$.

Так как биссектриса делит угол $A$ на два равных угла, то угол $BAD = \frac{1}{2} \cdot A$. Также, угол $ADC$ в равнобедренном треугольнике также равен углу $A$, так как это внешний угол трапеции $ADBC$.

Теперь заметим, что уголы $BAD$ и $ADC$ дополнительны друг другу, так как в сумме дают прямой угол, то есть $BAD + ADC = 180^\circ$. Подставляя найденные значения углов, имеем $\frac{1}{2} A + A = 180^\circ$, откуда $A = 120^\circ$.

Теперь заметим, что угол $CAD$ является внешним углом треугольника $ADC$, и равен сумме двух внутренних углов. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то углы $ACB$ и $ABC$ равны. Имеем $CAD = A + \frac{1}{2} A = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$.

Таким образом, основание равнобедренного треугольника параллельно биссектрисе одного из внешних углов.