Дан произвольный четырёхугольник MNPQ. Докажите что а) MN+NQ=MP+PQ; б) MN+NP=MQ+QP.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Рассмотрим треугольники MNP и QPN. Поскольку оппозитные стороны четырёхугольника параллельны, углы MNP и QPN равны (и равны углам MPN и NQP). Таким образом, треугольники MNP и QPN подобны. Следовательно, MN/NQ = MP/PQ. Умножим обе части на NQ: MN = NQ(MP/PQ). Таким же образом, рассмотрим треугольники MQP и NQP и получим MQ = NP(PQ/NQ). Сложим полученные равенства: MN + NQ = NQ(MP/PQ) + NP(PQ/NQ). По закону намаиваем: MN + NQ = MP + PQ.

б) Рассуждения аналогичны предыдущему пункту. При рассмотрении треугольников MNP и MPQ получим, что MN/NP=MQ/PQ. Умножим обе части на NP: MN = NP(MQ/PQ). Аналогично для треугольников QNP и QMP получим, что QN = MP(MQ/PQ). Сложим полученные равенства: MN + NP = NP(MQ/PQ) + MP(MQ/PQ). По закону распределения: MN + NP = MQ + PQ.