Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox фігури обмеженої лініями y= -x^2+3, y=2, y=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням фігури обмеженої лініями y = -x^2 + 3, y = 2, y = 0 навколо осі Ox, спочатку знайдемо точки перетину цих ліній.

y = -x^2 + 3 і y = 2:
-x^2 + 3 = 2
-x^2 = -1
x^2 = 1
x = ±1

y = 0 і y = -x^2 + 3:
0 = -x^2 + 3
x^2 = 3
x = ±√3

Таким чином, точки перетину цих ліній: (-1, 2), (1, 2), (-√3, 0), (√3, 0).

Об'єм тіла, утвореного обертанням фігури обмеженої лініями навколо осі Ox, можна знайти використовуючи формулу об'єму обертання:

V = π∫[a, b] (f(x))^2 dx

де a і b - це абсциси точок перетину функцій.

Таким чином,
V = π∫[-√3, -1] (-x^2 + 3)^2 dx + π∫[-1, 1] (2)^2 dx + π∫[1, √3] (0)^2 dx

Обчислимо інтеграли:
V = π∫[-√3, -1] (x^4 - 6x^2 + 9) dx + π∫[-1, 1] (4) dx + π∫[1, √3] (0) dx
V = π [1/5 x^5 - 2x^3 + 9x] ∣ from -√3 to -1 + π [4x] ∣ from -1 to 1 + 0
V = π [1/5(1)^5 - 2(1)^3 + 9(1) - 1/5(-√3)^5 + 2(-√3)^3 - 9(-√3)] + π [4(1) - 4(-1)]
V = π [1/5 - 2 + 9 - 1/5√3^5 + 2√3^3 + 9√3 + 4x - 4]
V = π [8/5 + 11 - 1/5√3 + 2√3 - 4]

Отже, об'єм тіла, утвореного обертанням фігури обмеженої лініями навколо осі Ox, складає приблизно 48.25 одиниць об'єму.