Вписанная и вневписанная окружность треугольника ABC касаются стороны BC в точках P и Q. Вневписанные окружности треугольника ABC касаются продолжений стороны BC за точки B и C в точках X и Y. Найдите расстояние между серединами отрезков PQ и XY, если BC=24 .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть $S_1$ и $S_2$ - середины отрезков PQ и XY соответственно. Так как PQ - это отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника ABC, то $S_1$ будет являться серединой отрезка BC. Аналогично, так как XY - это отрезок, соединяющий центры двух вневписанных окружностей треугольника ABC, то $S_2$ будет равен половине высоты треугольника ABC, проведенной из вершины A.
Обозначим через I центр вписанной окружности, через I1 и I2 - центры вневписанных окружностей.
Пусть $r$ - радиус вписанной окружности, $r_1$ и $r_2$ - радиусы вневписанных окружностей.
Так как BC является касательной к вписанной окружности, то IP=IQ=r.
Из свойств треугольника равнобедренного с основанием BC (BC=24), вытекает, что BP=CQ=12, а значит BO=OC=12-r.
Теперь рассмотрим треугольники $AOC$ и $BOI$. С учетом того, что $AO=CO=h$, где h - высота треугольника ABC. По теореме Пифагора получаем:
$h^2=24^2-(12-r)^2=12r$.
Так как $AB=h$, то $S_2=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{12r}}{2}$.
Тогда расстояние между серединами отрезков PQ и XY: $S_2-S_1=\frac{\sqrt{12r}}{2}-12=\frac{\sqrt{12r}-24}{2}$.
Таким образом, нужно найти радиус вписанной окружности r.