Нехай площа меншого трикутника дорівнює S, а площа більшого трикутника дорівнює 27 см^2.
Знаємо, що площа трикутника пропорційна квадрату його сторін (S1/S2 = a1^2/a2^2).
Оскільки трикутники подібні, то відношення площ трикутників дорівнює відношенню квадратів їх сторін:
S1/S2 = (a1/a2)^2.
Так як S2 > S, то (a1/a2)^2 = S2/S > 1.
Отже, з попередньої нерівності маємо, що a1/a2 > 1, тобто сторона меншого трикутника більша за відповідну сторону більшого трикутника.
Покажемо, що сторони трикутників будуть пропорційні сторонам квадратів їх площ.
Mалюнок до теми
Малюнок до теми
Периметр меншого трикутника:
P1 = 4K,
периметр більшого трикутника:
P2 = 5K,
де К – множник пропорційності.
Відси можна знайти сторону κ:
P1 = a1 + a1 + a1 = 4K,
P2 = a2 + a2 + a2 = 5K,
4K = 4*(a1 + a1 + a1),
5K = 5*(a2 + a2 + a2).
Отже:
a1 = 4K/3,
a2 = 5K/3.
Тоді площа трикутника:
S1 = (a1 * h1) / 2,
S2 = (a2 * h2) / 2,
де h1 і h2 – висоти трикутників.
Так як трикутники подібні, то висоти також будуть пропорційні сторонам трикутника.
Висоти будуть пропорційні сторонам трикутників:
h1 = 4K/3,
h2 = 5K/3.
Тепер можна виразити висоту через одну сторону:
h1 = 2*S1 / a1,
h2 = 2*S2 / a2.
Підставимо сторону через множник К:
h1 = 2 S1 / a1 = 2 S1 / (4 K / 3) = 3 S1 / K,
h2 = 2 S2 / a2 = 2 S2 / (5 K / 3) = 3 S2 / K.
Відси:
h1 = 3 * S1 / K,
h2 = 3 * S2 / K.
Далі можна підставити сторону трикутника через множник К у формулу для площі:
S1 = (a1 h1) / 2 = (4 K / 3 3 S1 / K) / 2 = 2 * S1,
S2 = (a2 h2) / 2 = (5 K / 3 3 S2 / K) / 2 = 5 * S2.
Таким чином:
27 = 5 * S2,
S2 = 27 / 5 = 5,4 см^2.
Тепер можна знайти площу меншого трикутника:
S1 = 2 S2 = 2 5,4 = 10,8 см^2.
Отже, площа меншого з подібних трикутників дорівнює 10,8 см^2.
Нехай площа меншого трикутника дорівнює S, а площа більшого трикутника дорівнює 27 см^2.
Знаємо, що площа трикутника пропорційна квадрату його сторін (S1/S2 = a1^2/a2^2).
Оскільки трикутники подібні, то відношення площ трикутників дорівнює відношенню квадратів їх сторін:
S1/S2 = (a1/a2)^2.
Так як S2 > S, то (a1/a2)^2 = S2/S > 1.
Отже, з попередньої нерівності маємо, що a1/a2 > 1, тобто сторона меншого трикутника більша за відповідну сторону більшого трикутника.
Покажемо, що сторони трикутників будуть пропорційні сторонам квадратів їх площ.
Mалюнок до теми
Малюнок до теми
Периметр меншого трикутника:
P1 = 4K,
периметр більшого трикутника:
P2 = 5K,
де К – множник пропорційності.
Відси можна знайти сторону κ:
P1 = a1 + a1 + a1 = 4K,
P2 = a2 + a2 + a2 = 5K,
4K = 4*(a1 + a1 + a1),
5K = 5*(a2 + a2 + a2).
Отже:
a1 = 4K/3,
a2 = 5K/3.
Тоді площа трикутника:
S1 = (a1 * h1) / 2,
S2 = (a2 * h2) / 2,
де h1 і h2 – висоти трикутників.
Так як трикутники подібні, то висоти також будуть пропорційні сторонам трикутника.
Висоти будуть пропорційні сторонам трикутників:
h1 = 4K/3,
h2 = 5K/3.
Тепер можна виразити висоту через одну сторону:
h1 = 2*S1 / a1,
h2 = 2*S2 / a2.
Підставимо сторону через множник К:
h1 = 2 S1 / a1 = 2 S1 / (4 K / 3) = 3 S1 / K,
h2 = 2 S2 / a2 = 2 S2 / (5 K / 3) = 3 S2 / K.
Відси:
h1 = 3 * S1 / K,
h2 = 3 * S2 / K.
Далі можна підставити сторону трикутника через множник К у формулу для площі:
S1 = (a1 h1) / 2 = (4 K / 3 3 S1 / K) / 2 = 2 * S1,
S2 = (a2 h2) / 2 = (5 K / 3 3 S2 / K) / 2 = 5 * S2.
Таким чином:
27 = 5 * S2,
S2 = 27 / 5 = 5,4 см^2.
Тепер можна знайти площу меншого трикутника:
S1 = 2 S2 = 2 5,4 = 10,8 см^2.
Отже, площа меншого з подібних трикутників дорівнює 10,8 см^2.