Б) Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны `7` и `sqrt(15)`(корень из 15). Найдите расстояние между серединами оснований. в) Углы при большем основании трапеции равны `61^@` и `29^@`. Точки `M` и `N` – середины оснований, точки `P` и `Q` – середины боковых сторон. Найдите основания трапеции, если `MN=4` и `PQ=7`.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала решим пункт (б).

Пусть ABCD - трапеция, где AB и CD - основания, AD и BC - боковые стороны.

Так как диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, рассмотрим прямоугольный треугольник ACD, где AC - диагональ.

Из условия имеем, что диагонали равны 7 и sqrt(15), значит по теореме Пифагора:

AC^2 = 7^2 + sqrt(15)^2

AC^2 = 49 + 15

AC^2 = 64

AC = 8

Таким образом, AC = 8.

Расстояние между серединами оснований равно половине длины диагонали трапеции, то есть AC/2 = 8/2 = 4.

Ответ: расстояние между серединами оснований равно 4.

Теперь перейдем к пункту (в).

По условию, MN = 4 и PQ = 7.

Так как M и N – середины оснований, а P и Q – середины боковых сторон, получаем, что MP = NQ и NP = MQ.

Также, углы при большем основании трапеции равны 61^@ и 29^@.

Так как PQ = 7, то из тригонометрических свойств следует, что:

PN = PQ * cos(29^@) = 7 * cos(29^@)

MP = MN * cos(61^@) = 4 * cos(61^@)

Так как PN = MP, получаем:

7 * cos(29^@) = 4 * cos(61^@)

Из этого уравнения можем найти cos(29^@)/cos(61^@), подставить в уравнение PN = 7 * cos(29^@), а затем найти cos(29^@).

После нахождения cos(29^@) можно найти основания трапеции AB и CD с помощью формулы:

AB = 2 * PN

CD = 2 * MP

Затем нужно найти боковые стороны AD и BC с использованием теоремы cosinus.

Итак, найденные основания трапеции будут соответствовать условиям задачи.