Задание 1. Прямая AB касается окружности с центром O в точке B. Найдите AO, если радиус окружности – 3 см, а хорда, один конец которой совпадает с точкой касания, а второй – с точкой пересечения окружности и прямой AO, стягивает дугу 45°.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку хорда стягивает дугу 45°, то угол AOB равен 90°. Так как точка B является точкой касания, отрезок BO является радиусом окружности, следовательно, BO = 3 см.

Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника AOB:
AB^2 = AO^2 + BO^2
AB^2 = AO^2 + 3^2
AB^2 = AO^2 + 9

Также заметим, что угол в радианах между AO и OB равен 45° = π/4 радиан, а значит, дуга между точками A и B равна π/4 от длины окружности:
AB = r (угол в радианах) = 3 π/4

Подставляем это значение в уравнение и находим AO:
(3 π/4)^2 = AO^2 + 9
9π^2 / 16 = AO^2 + 9
AO^2 = 9π^2 / 16 - 9
AO^2 = (9π^2 - 144) / 16
AO = √((9π^2 - 144) / 16)
AO ≈ √((81π^2 - 144) / 16)
AO ≈ √((819.8696 - 144) / 16)
AO ≈ √((796.756 - 144) / 16)
AO ≈ √(652.756 / 16)
AO ≈ √40.79725
AO ≈ 6.39

Итак, длина отрезка AO составляет около 6.39 см.