При каком значении α уравнение x^2+(α / x^2-2x+2) = 4+2x имеет три решения?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы уравнение имело три решения, необходимо чтобы дискриминант был равен нулю.

Дискриминант уравнения x^2 + (α / x^2 - 2x + 2) - 4 - 2x = 0 равен:
D = (-2)^2 - 41(α / x^2 - 2x + 2 - 4 - 2x) = 4 - 41[(α / x^2 - 4x + 6)] = 4 - 4α / x^2 + 16x - 24

Поскольку уравнение имеет три корня при D = 0, то:

4 - 4α / x^2 + 16x - 24 = 0
4α / x^2 - 16x = -20
α / x^2 - 4x = -5

Чтобы это уравнение имело три корня, необходимо чтобы два условия были выполнены:

Дискриминант уравнения α / x^2 - 4x + 5 = 0 равен нулю:
D = 4^2 - 41(α / x^2 - 5) = 16 - 4α / x^2 + 20 = 36 - 4α / x^2 = 0
4α / x^2 = 36
α / x^2 = 9

Условие равенства между положительным и отрицательным дискриминантом не должно нарушаться:
4 - 4α / x^2 + 16x - 24 > 0

Таким образом, при α = 9 уравнение x^2 + (α / x^2 - 2x + 2) = 4 + 2x имеет три решения.