AH и CK высоты остроугольного треугольника АВС . Угол КНС= а . Найдите КН.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся определением высоты остроугольного треугольника.

Высота остроугольного треугольника - это отрезок, проведенный из вершины треугольника к основанию под прямым углом.

Таким образом, отрезок CK является высотой треугольника ABC.

Из условия задачи известно, что угол KNC равен а.

Так как треугольник ABC - остроугольный, то высота CK опущена из острого угла на основание AB. Это значит, что угол KBC также равен 90 градусов.

Из прямоугольного треугольника KBC по теореме Пифагора получаем:

CK^2 = KB^2 + BC^2

Из свойств проекций треугольника:

KB = KN cos(90 - a) = KN sin(a)

Подставим в уравнение:

CK^2 = (KN * sin(a))^2 + BC^2

CK^2 = KN^2 sin^2(a) + BC^2

Так как высота CK равна AH, то BC = АН = АВ / 2 = BC / 2

CK^2 = KN^2 * sin^2(a) + (AB / 2)^2

CK^2 = KN^2 * sin^2(a) + AB^2 / 4

Из теоремы Пифагора в треугольнике ABC:

AB^2 = AC^2 - BC^2

AB^2 = AC^2 - (AB / 2)^2

AB^2 = AC^2 - AB^2 / 4

5 * AB^2 / 4 = AC^2

4 AB^2 = 5 AC^2

AB^2 = 5 * AC^2 / 4

Подставим это значение в предыдущее уравнение:

CK^2 = KN^2 sin^2(a) + 5 AC^2 / 16

KN^2 sin^2(a) = CK^2 - 5 AC^2 / 16

KN = sqrt(CK^2 - 5 * AC^2 / 16) / sin(a)

Таким образом, выразили длину отрезка KN через известные величины CK, а и AC.