На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно. Точки B,C,E,D лежат на одной окружности. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADC, если известно, что ∠CDE=∠BAC и что радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку треугольник ABC описан около окружности, то угол в центре ∠A равен углу в окружности ∠BAC. Таким образом, ∠A = ∠BAC.

Также, учитывая, что B,C,E,D лежат на одной окружности, получаем, что угол ∠CDE = ∠CBE.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и ADC. У них углы ∠ADC и ∠BAC равны, поскольку это основные углы. Также, углы ∠ACD и ∠ABC равны по свойству описанной около окружности. Следовательно, эти два треугольника подобны.

Из подобия треугольников ABC и ADC следует, что AC/AB = AD/AC. Получаем AC^2 = ABAD = 1AD = AD.

Теперь вернемся к треугольнику ADC. Углы ∠ADC и ∠A равны, а сторону AD мы нашли равной радиусу описанной около треугольника ABC окружности. Следовательно, треугольник ADC является равнобедренным.

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник со сторонами AD, AD и х, где x - радиус описанной около треугольника ADC окружности.

Из пропорции прямоугольного треугольника ADx = AD^2 = 1. Следовательно, x = 1.

Итак, радиус окружности, описанной около треугольника ADC, равен 1.