В остроугольном треугольнике ABC AA1 и BB1 — высоты, D — проекция A1 на AC, E — проекция D на AB, F — точка пересечения ED и AA1. Известно, что ∠C=37∘. Найдите ∠FB1B.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Так как AA1 и BB1 — высоты, то треугольник ABC — остроугольный и AD, BD — медианы. Значит, точка D делит отрезок AC на две равные части и AD=DC. Также угол CAD равен 37 градусов. Следовательно, угол ADC = 37 градусов.

Так как AE перпендикулярно и ED перпендикулярно, а AF — общая сторона, то треугольники AFE и AED подобны, потому что у них одинаковые углы.

Заметим, что треугольники AFD и A1AD подобны, поэтому угол ADF равен углу ADA.

Теперь рассмотрим треугольники DBB1 и DCF. Так как BD = DC (из того что D - середина), то они равны. Тогда углы BDD1 и CDC1 равны. На основании этих фактов следует, что угол CDF равен 37 градусов

Наконец, рассмотрим треугольники AFD и CDF. Их углы ADF и CFD равны, а у ADF равен углу ADA, поэтому угол CDF равен углу DAA1. В то же время, треугольник FDC - прямоугольный, поэтому угол FDC равен дополнительному углу угла CDF

Итак, получаем ∠FDC=90-37=53∘, а ∠CFB1=53∘, так как треугольник CFB1 — прямоугольный, получаем ∠FB1B=90-53=37∘.

Ответ: ∠FB1B=37∘.