Прямоугольные треугольники ABC и ABD имеют общую гипотенузу АВ, а точки С и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АВ. Докажите, что если AD = ВС, то прямые АС и BD параллельны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи следует, что треугольники ABC и ABD являются подобными, так как у них совпадают углы при вершине А и углы при вершине B. Дано, что AD = BC, следовательно, у них также равны гипотенузы AB.

Так как треугольники подобные, то у них одинаковые соотношения сторон и значит, AC = BD.

Предположим, что прямые AC и BD не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке E. Но в этом случае получается, что треугольник ABE является равнобедренным, так как AB = AE и BE = AB. А это противоречит условию задачи, что точки С и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AB.

Следовательно, прямые АС и BD параллельны.