Окружность касается гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений двух его катетов. Докажите, что диаметр окружности равен периметру треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB и катетами AC и BC. Окружность, касающаяся гипотенузы AB и продолжений катетов AC и BC, будет вписанной в прямоугольный треугольник.

Пусть радиус окружности равен r, тогда по свойству окружности, касающейся прямоугольного треугольника, точка касания дуги равна r.

Таким образом, AC + r + BC = AB + r.

r + r + r = AB + BC + AC.

2r = AB + BC + AC.

AB + BC + AC = 2r.

Таким образом, мы доказали, что диаметр окружности (AB) равен периметру треугольника (AB + BC + AC).