В окружности X проведены хорда AB и вторая окружность E, которая касается хорды AB и окружности X в точках C и D . Докажите, что прямая CD содержит середину одной из дуг окружности X с концами A, B.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем, что прямая CD содержит середину дуги окружности X с концами A, B, обозначим её как M.

Поскольку окружность E касается хорды AB, она перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания. Таким образом, AC и BD являются биссектрисами угла CAB и угла CBA, соответственно.

Так как CD является биссектрисой угла C, то угол ACB равен углу DCB.

Теперь рассмотрим треугольник ADC. Из равенства углов ACD и DAC следует, что угол CAD равен углу CDA.

Таким образом, углы ACB и CAD равны между собой, что означает, что точка M, являющаяся серединой дуги AD с концами A и D, лежит на прямой CD.

Следовательно, прямая CD содержит середину дуги окружности X с концами A, B.