В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=4:1. прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим площади треугольников с помощью S, а стороны треугольника ABC - a, b, c.

Так как отношение длины отрезка BK к отрезку KM равно 4:1, то отношение площадей треугольников ABK и AKM также равно 4:1. Значит, S(ABK) = 4/5 * S(ABM).

Теперь заметим, что треугольники ABK и ABC равны по площади, так как они имеют общую высоту из вершины A и сторону AB, смежную с этой высотой.

Теперь объединим треугольники AKM и KPM. Поскольку отрезок AK является медианой треугольника ABC, то медиана разбивает треугольник на два треугольника равного площади. Значит, S(KPM) = 1/2 S(ABC), а S(AKM) = 1/2 S(ABC).

Теперь можем записать, что S(KPCM) = S(KPM) + S(AKM) = 1/2 S(ABC) + 1/2 S(ABC) = S(ABC), так как треугольники AKM и KPM в сумме равны треугольнику ABC.

Итак, S(ABK) / S(KPCM) = 4/5 S(ABM) / S(ABC) = 4/5 1/2 = 2/5.

Отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM равно 2:5.