Не вписанный прямоугольник!Дан прямоугольник ABCD. Окружность,проходящая через точки A и D,касается прямой CD и пересекает диагональ AC в точке P.Найдите длину отрезка DP,если AP=√7;AB=14√2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус окружности как R. Так как окружность проходит через точки A и D, то отрезок AD является её диаметром, следовательно AD=2R. Также, так как окружность касается прямой CD, то отрезок DP является высотой треугольника ADC, а отрезок AP - медианой. Так как AP является медианой, то точка P делит сторону AC пополам, следовательно PC=AC/2=7√2.

Так как DP является высотой треугольника ADC, применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику APD:
AD^2 = AP^2 + DP^2
(2R)^2 = (√7)^2 + DP^2
4R^2 = 7 + DP^2
DP^2 = 4R^2 - 7

Теперь посмотрим на треугольник DPC, так как DP - высота, а PC - медиана, то точка P делит сторону DC пополам, следовательно DC = 2DP. Используем правило косинусов в треугольнике DPC:
DC^2 = DP^2 + PC^2 - 2DPPCcos(∠DPC)
(2DP)^2 = DP^2 + (7√2)^2 - 2DP7√2cos(∠DPC)
4DP^2 = DP^2 + 98 - 14DP√2cos(∠DPC)

Так как cos(∠DPC)=-1 (так как DP и PC смотрят в противоположные направления), то:
4DP^2 = DP^2 + 98 + 14DP√2
3DP^2 - 14DP√2 - 98 = 0

Решим квадратное уравнение:
DP = ( 14√2 ± sqrt((14√2)^2 - 43(-98)) ) / 6
DP = ( 14√2 ± sqrt(392) ) / 6
DP = ( 14√2 ± 2*√98 ) / 6
DP = ( 14√2 ± 14√2 ) / 6

Отсюда получаем два возможных значений для DP:
DP = 14 / 6 = 7/3 или DP = 28√2 / 6 = 14√2 / 3

Итак, длина отрезка DP равна 7/3 или 14√2 / 3.