Шар радиуса R описан около правильной треугольной пирамиды, боковое ребро которой образует с плоскостью основания угол а. Найти объём пирамиды. Сделать чертёж.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через O центр описанной окружности, а через A, B, C вершины треугольной пирамиды, а через D середину основания. Так как треугольная пирамида правильная, то AD является медианой треугольника ABC, следовательно, AD - это высота пирамиды.

Также из геометрии известно, что радиус описанной окружности равен половине стороны основания треугольника (R = AB/2).

Таким образом, треугольник ADO - прямоугольный с прямым углом в вершине D. По теореме Пифагора:
AD² + AO² = OD²,
(AB/2)² + (AD + R)² = AD²,
(AB/2)² + (AD² + 2RAD + R²) = AD²,
AB²/4 + 2RAD + R² = 3AD².

С другой стороны, из правильности треугольника ABC следует равенство AB = 2Rcos(60°) = R. Подставляем AB = R в полученное уравнение:
AB²/4 + 2RAD + R² = 3AD²,
R²/4 + 2RAD + R² = 3AD²,
2RAD = 2R²,
AD = R.

Таким образом, высота пирамиды равна радиусу описанной окружности.

Объем пирамиды можно найти по формуле:
V = (1/3) S h,
где S - площадь основания треугольника ABC, h - высота пирамиды.

Так как треугольная пирамида правильная, площадь основания равна:
S = (1/2) AB AD,
S = (1/2) R R,
S = R²/2.

Таким образом, объем пирамиды равен:
V = (1/3) (R²/2) R = R³/6.

Чтобы сделать чертеж, необходимо построить правильный треугольник ABC, вписать в него окружность, провести медиану AD и высоту пирамиды, равную радиусу описанной окружности.