Основанием пирамиды SABCD является квадрат. Площадь боковой поверхности пирамиды в 4 раза больше площади её основания. Найдите углы наклона граней SAB и SCB к основанию

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона основания квадрата равна а, а высота пирамиды равна h.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна S_b = 1/2 p l, где p - периметр основания, l - длина боковой грани. В данном случае l = √(h^2 + a^2).

Площадь основания равна S_o = a^2.

Так как площадь боковой поверхности в 4 раза больше площади основания, то S_b = 4 * S_o.

1/2 p √(h^2 + a^2) = 4 a^2
p √(h^2 + a^2) = 8 a
√(h^2 + a^2) = 8 a / p
h^2 + a^2 = (8 a)^2 / p^2
h^2 + a^2 = (64 a^2) / p^2

Так как основание пирамиды - квадрат, то p = 4a. Подставляем в выражение:

h^2 + a^2 = (64 a^2) / (4 a)^2
h^2 + a^2 = (64 a^2) / 16 a^2
h^2 + a^2 = 4
h = √3a

Теперь найдем углы наклона граней SAB и SCB к основанию. Углы противоположных граней равны, поэтому найдем угол наклона грани SAB.

Косинус угла наклона грани SAB к основанию равен h / √(h^2 + (a/2)^2). Подставим значения:

cos(∠SAB) = √3a / √(3a^2 + (a/2)^2)
cos(∠SAB) = √3a / √(3a^2 + a^2/4)
cos(∠SAB) = √3 / √(3 + 1/4)
cos(∠SAB) = √3 / √(13/4)
cos(∠SAB) = √3 * 2 / √13
cos(∠SAB) = 2√3 / √13
cos(∠SAB) = 2√39 / 13

Угол наклона грани SCB также равен cos(∠SAB) = 2√39 / 13.