На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP=PD, O-точка пересичений диогоналей. Выразите векторы BO, BP, PA через векторы x=BA и y=BC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим векторы x и y:

x = BA
y = BC

Так как CD является продолжением BA, то CD = -BA, а также AD является продолжением BC, то AD = BC

Теперь выразим нужные векторы через x и y:

Так как P - середина отрезка CD, то P = (C + D)/2 и OP = (O + P)/2

P = (C + D)/2
P = (C + (-BA))/2
P = (C - BA)/2

O = (A + C)/2

OP = (O + P)/2
OP = ((A + C)/2 + (C - BA)/2)/2
OP = (A + C - BA)/4

Получаем:
BO = BP - (A + C - BA)/4

Так как OP = (A + C - BA)/4, то
BP = -(-BP - (A + C - BA)/4) + (A + C - BA)/4
BP = BP + (A + C - BA)/4 + (A + C - BA)/4
BP = x/4 + y/4 + 2y/4
BP = x/4 + 3y/4

OA = OB + x
OA = OB + BA

OP = (A + C - BA)/4

Получаем:
PA = -(A + C - BA)/4 + OB + BA
PA = -(A + C - BA)/4 + OB + BA
PA = -A/4 - C/4 + BA/4 + OB + BA
PA = -A/4 - C/4 + BA/4 + OA
PA = -A/4 - C/4 + BA/4 + (OB + BA)
PA = -A/4 - C/4 + BA/4 + (OB + BA)
PA = -A/4 - C/4 + BA/4 + x + y
PA = -A/4 - C/4 + 3BA/4 + 3x/4 + 3y/4

Таким образом, векторы BO, BP и PA выражены через векторы x и y.