Прямоугольник, площадь которого равна S вращается вокруг оси, проходящей через его вершину параллельно диагонали. Вычислите площадь поверхности фигуры вращения, если угол между диагоналями равен a (альфа)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь поверхности фигуры вращения можно найти по формуле:

S = 2πrh,

где r - радиус окружности, по которой вращается прямоугольник, h - высота прямоугольника.

Поскольку вращение происходит вокруг оси, проходящей через вершину прямоугольника, радиус r равен половине диагонали прямоугольника. Таким образом, r = d/2, где d - длина диагонали прямоугольника.

Для нахождения высоты h прямоугольника воспользуемся тригонометрией. Разобьем прямоугольник на два треугольника, у которых гипотенузой является диагональ, а катетами - стороны прямоугольника. Угол между диагоналями равен a. Таким образом, для каждого из треугольников угол между диагональю и катетом равен a/2.

Из теоремы косинусов для треугольника получаем:
h = d * cos(a/2).

Теперь можем найти площадь поверхности фигуры вращения:
S = 2π (d/2) d cos(a/2) = πd^2 cos(a/2).

Таким образом, площадь поверхности фигуры вращения равна πd^2 * cos(a/2).