Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками указанных функций: y=2x-x^2, y=4x-2x^2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи необходимо найти точки пересечения графиков функций y=2x-x^2 и y=4x-2x^2. Это можно сделать, приравнивая данные функции друг к другу:

2x-x^2 = 4x-2x^2
x^2 - 2x = 0
x(x - 2) = 0

Отсюда получаем два значения x: x=0 и x=2.

Подставим найденные значения x обратно в одну из функций для нахождения соответствующих значений y:

При x=0:
y = 20 - 0^2 = 0
y = 40 - 2*0^2 = 0
Таким образом, точка пересечения при x=0 имеет координаты (0,0).

При x=2:
y = 22 - 2^2 = 2
y = 42 - 2*2^2 = 4
Таким образом, точка пересечения при x=2 имеет координаты (2,2) и (2,4).

Теперь нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиками указанных функций. Так как у обеих функций отрицательный коэффициент при квадрате, то графики обеих функций симметричны относительно вертикальной прямой x=1.

Полученная фигура представляет собой фигуру, заключенную между графиками указанных функций и осью Ox, а также ограниченная между точками пересечения графиков (0,0) и (2,2) (или (2,4)). Данная фигура является фигурой, состоящей из двух треугольников и прямоугольника.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: S = 0.5 основание высота.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=2x-x^2 и y=4x-2x^2, равна сумме площадей двух треугольников и прямоугольника:

S = (0.5 2 2) + (0.5 2 2) + (2 * 2) = 2 + 2 + 4 = 8

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиками указанных функций, равна 8.