Найти длину высоты DH треугольника ABC, если A = (0;1;2), B = (3;4;2), C = (2;1; -5)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем векторы AB и AC:

AB = B - A = (3 - 0; 4 - 1; 2 - 2) = (3; 3; 0
AC = C - A = (2 - 0; 1 - 1; -5 - 2) = (2; 0; -7)

Теперь найдем векторное произведение AB и AC, которое будет вектором нормали к плоскости треугольника ABC:

n = AB x AC = (30 - 00; -(37 - 02); 30 - 32) = (0; -21; -6)

Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через точку A и имеющей вектор нормали n:

0*(x - 0) - 21(y - 1) - 6(z - 2) =
-21y + 21 - 6z + 12 =
-21y - 6z + 33 =
21y + 6z - 33 = 0

Теперь найдем расстояние от точки H до плоскости, где H(x, y, z) - это проекция точки C на плоскость ABC:

d = |211 + 6(-5) - 33| / sqrt(21^2 + 6^2
d = |21 - 30 - 33| / sqrt(441 + 36
d = | - 42 | / sqrt(477
d = 42 / sqrt(477
d ≈ 1.94

Таким образом, длина высоты DH треугольника ABC равна приблизительно 1.94.