В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 30 градусов. Расстояние от середины высоты пирамиды до боковой грани равно корню из трех. Найти объем пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сторону основания четырехугольной пирамиды через а, а ее высоту - через h. Так как стороны основания наклонены под углом 30 градусов, то треугольник, образованный боковой гранью и высотой, является прямоугольным, где гипотенуза равна h, катет равен a/2 (середина стороны основания) и угол между гипотенузой и катетом равен 30 градусов.

Таким образом, получаем, что tg(30) = (a/2) / h, т.е. a/2 = h tg(30) = h sqrt(3)/3. Следовательно, a = 2h * sqrt(3)/3.

Теперь можем найти объем пирамиды. Объем четырехугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Площадь основания равна a^2 = (2h sqrt(3)/3)^2 = (4h^2 3/9) = 4h^2 / 3.

Таким образом, объем пирамиды равен V = (1/3) (4h^2/3) h = 4h^3 / 9.

Из условия задачи известно, что расстояние от середины высоты пирамиды до боковой грани равно sqrt(3), т.е. это - высота. Поэтому можем записать h = sqrt(3).

Таким образом, V = 4(sqrt(3))^3 / 9 = 4 3sqrt(3) / 9 = 4sqrt(3) / 3 = (4/3) sqrt(3). Ответ: объем пирамиды равен (4/3) * sqrt(3).