В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, угол между высотой CH и биссектрисой CD равен 15°. Найдите гипотенузу, если AH=6 и точка D лежит между точками B и H.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим за x длину отрезка HD. Так как точка D лежит между точками B и H, то точка H является точкой касания вписанной окружности треугольника ABC. Таким образом, BD=CH=x, а CD=HD=AH=6.

Посмотрим на треугольник DCH. Так как угол между высотой и биссектрисой равен 15°, то угол DCH=15°. Заметим, что угол HCD = 45°, так как AH является диаметром описанной окружности треугольника ABC. Таким образом, в треугольнике DCH угол DHC=120°.

Из закона косинусов в треугольнике DCH:
CH^2 = x^2 + 6^2 - 2x6cos(120°)
36 = x^2 + 36 - 12x(-0.5)
x^2 + 6x - 18 = 0
(x + 3)(x-6) = 0

Отсюда получаем, что x = 6 (поскольку x не может быть отрицательным).

Теперь мы легко можем найти гипотенузу треугольника ABC:
BC^2 = BD^2 + CD^2
BC^2 = 6^2 + 6^2
BC = 6*sqrt(2)

Итак, гипотенуза треугольника ABC равна 6*sqrt(2) (или примерно 8,49).