На сторонах угла А отложены равные отрезки АВ и АС. Через ихконцы проведены лучи ВМ и СК , так что ВМ перпендикулярен АВ, СК перпендикулярен АС . Лучи ВМ и АС пересекаются в точке F , СК и АВ в точке D. Докажите, что BD=CF.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи мы знаем, что угол АВМ прямой, так как ВМ перпендикулярен АВ, а угол АСК также прямой, так как СК перпендикулярен АС. Таким образом, треугольники АВМ и АСК являются прямоугольными.

Посмотрим на треугольники ВФМ и СФК. Угол Ф равен 180° - угол АвФ - угол АСФ = 180° - (90° + угол АВМ) - (90° + угол АСК) = 180° - 180° = 0°. То есть, угол Ф прямой. Получается, что треугольник ФВМ также является прямоугольным.

Аналогично для trehугольника СФК: угол Ф равен угол CФК = 0°, значит треугольник СФК также прямоугольный.

Так как у обоих треугольников ВФМ и СФК один из углов прямой, а катеты ВФ и СФ равны (по условию задачи), то эти треугольники равнобедренные. Следовательно, ВМ =ФМ и СК = ФК.

Теперь рассмотрим треугольники ВФМ и СФК. В них углы Ф равны, а стороны БФ и СФ равны, поэтому данные треугольники равны, и их гипотенузы равны: ВФ = СФ.

Итак, ВФ = СФ, ВМ =ФМ и СК = ФК. Придадим значение х стороне АВ и АС. Тогда ВМ = СК = х, ВФ = СФ = х.

Отметим точку Е на луче ФК, такую что ФЕ перпендикулярен ВМ. Тогда ЕМ = ВМ = х. Так как угол ВФМ = 90°, угол ФМЕ = 90°. То есть, треугольник ВМЕ является прямоугольным.

Аналогично, отметим точку G на луче ВМ, такую что ГК перпендикулярен СК. Тогда ГК = х. Так как угол СКФ = 90°, угол ФГК = 90°. То есть, треугольник ФГК является прямоугольным.

Теперь рассмотрим треугольники ВЕМ и ГКФ. Оба они прямоугольные, и ВМ = СК = х, ВФ = СФ = х. Также ВМ = ФМ = ЕМ = СК = ФК = ГК =х. Получается, что ВГ= СЕ = х. Теперь добавим к треугольнику ВГК треугольник ВЕГ. Получим равносторонний треугольник БЕФ, по которому получаем, что BD = BF = СF.

Следовательно, BD=CF.