Дан треугольник ABC и точка D, которая не принадлежит его плоскости. Наклонные DA, DB, DC составляют равные углы с плоскостью треугольника.Докажите, что точка D ортогонально проектируется на плоскость треугольника в центр описанной около треугольника окружности.
Дан треугольник ABC и точка D, которая не принадлежит его плоскости. Наклонные DA, DB, DC составляют равные углы с плоскостью треугольника.Докажите, что точка D ортогонально проектируется на плоскость треугольника в центр описанной около треугольника окружности.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Подробнее
Для начала обозначим центр описанной около треугольника окружности как O. Так как угол между наклонной и плоскостью треугольника равен углу между наклонной и нормалью к плоскости, то у нас есть, что угол между DO и плоскостью треугольника равен углу между DO и нормалью к плоскости.
Так как вокруг проекции точки D на плоскость треугольника можно построить окружность, то ее центр будет находиться на перпендикуляре к плоскости в точке проекции D. Нам остается доказать, что этот центр находится на отрезке, соединяющем O и D.
Представим себе, что точка D смещается ближе к плоскости. Пусть расстояние от точки D до плоскости треугольника равно x, а радиус описанной около треугольника окружности равен R. Тогда радиус окружности, описанной вокруг проекции D на плоскость, также равен R.
Таким образом, треугольник ODC – прямоугольный треугольник, а точка D должна быть ортогонально проектирована на плоскость треугольника в центр описанной около треугольника окружности точки O.