На сторонах АВ,ВС,СD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственно точки М ,N,P и Q так что АМ=СР,BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите ,чтоABCD и MNPQ параллелограммы

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что из условия следует, что отрезки AM и CP равны.

Так как BM=DP и NC=QA, то треугольники BMP и DNP равны двум двум, так как у них равны соответствующие стороны и углы. Значит, у них равны соответствующие высоты, и у них равны соответствующие основания MP и DN.

Аналогично, треугольники CNP и AMQ равны и у них равны соответствующие основания CN и AM, значит равны и высоты — NP и MQ.

Из этого следует, что MP = DN = NP = MQ, то есть параллелограмм MNPQ — ромб.

Так как AM = CP, BN = DQ, BM = DP, NC = AQ, то AM = CP и BM = CP, значит, AB = CD и BC = AD. Поэтому ABCD — параллелограмм.

Итак, MNPQ — ромб и ABCD — параллелограмм.