В параллелограмме ABCD известны стороны AB = a, BC = b и угол BAD = Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через O1 и O2 центры окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB соответственно.
Так как угол BAD равен а, то треугольник DAB является равнобедренным, следовательно, OD2 перпендикулярна к AB и является биссектрисой угла ADB.
Также угол ABC равен B, тогда треугольник BCD является равнобедренным, и OD1 перпендикулярна к BC, а также является биссектрисой угла DCB.
Из этого следует, что угол O1OD1 равен B/2 + a/2 и O2OD1 равен B/2 - a/2.
Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника O1OD2D и O2OD1D с гипотенузой OD и равными катетами (R1 и R2).
Используя теорему синусов в соответствующих треугольниках, мы можем записать:
R1/sin(O1OD2D) = OD/sin(90)
R2/sin(O2OD1D) = OD/sin(90)
Тогда R1 = ODsin(O1OD2D), R2 = ODsin(O2OD1D)
Из вышеуказанного можно видеть, что расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB равно R1 + R2 = OD(sin(O1OD2D) + sin(O2OD1D)).
Таким образом, расстояние между центрами окружностей равно OD(sin(B/2 + a/2) + sin(B/2 - a/2)).