В прямоугольном треугольнике АВС катет АС=10. Найдите гипотенузу АВ, если радиус окружности, проходящей через концы гипотенузы треугольника и касающейся прямой ВС, равен 33,8

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим гипотенузу треугольника как (AB = x).

Рассмотрим треугольник ABC: он прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:
[AB^2 = AC^2 + BC^2]
[x^2 = 10^2 + (x - 10)^2]
[x^2 = 100 + x^2 - 20x + 100]
[20x = 200]
[x = 10]

Теперь обратим внимание на радиус окружности, которая проходит через концы гипотенузы (то есть точку B) и касается прямой (СV). Так как радиус окружности, касающейся прямой, проведенной к касательной, проходит через точку касания (то есть C), то он является радиусом вписанной в треугольник окружности.

Следовательно, можно вспомнить формулу для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник:
[r = \frac{p - AB - BC}{2}]
где p - полупериметр треугольника.

Тогда с учетом того, что AB = 10:
[r = \frac{10 + x - 10}{2}]
[33,8 = \frac{x}{2}]
[x = 2 \cdot 33,8 = 67,6]

Таким образом, гипотенуза треугольника ABC равна 67,6.