Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны . Биссектрисы внешних углов A и B этой трапеции пересекаются в точке P, биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке R. Найдите периметр трапеции ABCD ,если длина отрезка PR равна 24.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины сторон трапеции ABCD следующим образом: AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.

Так как биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке P, то AP и BP - биссектрисы внутренних углов A и B, и следовательно:
AP/AB = CP/BC = PD/CD = DP/DA = 1/2.

Поэтому AP = AD * 1/3 = d/3.

Аналогично, поскольку биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке R, то CR и DR - биссектрисы внутренних углов C и D, и поэтому:
CR/CD = AR/AD = DR/DC = BR/BC = 1/2.

Таким образом, CR = CD * 1/3 = c/3.

Поскольку PR = AP + CR, то PR = d/3 + c/3 = (c+d)/3 = (CD + DA)/3 = (b + d)/3 = (AB + CD)/3 = (a + c)/3.

Следовательно, из уравнения PR = 24 получаем: a + c = 72.

Теперь, чтобы найти периметр трапеции ABCD, просто сложим длины ее сторон: P = AB + BC + CD + DA = a + b + c + d.

Из уравнения a + c = 72 имеем: a = 72 - c.

Следовательно, P = 72 - c + b + c + d = 72 + b + d = 72 + BC + DA.

Таким образом, периметр трапеции ABCD равен 72 + BC + DA = 72 + PR = 72 + 24 = 96.