Через вершину А прямоугольника ABCD провидинна прямая AK перпендикулярная плоскости прямоугольника . Известно что KD = 6 cм KB = 7см KC = 9 см . Найти растояние от К до плоскости ABCD и растояние между АК и CD .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть H - точка пересечения прямой AK с плоскостью ABCD, тогда треугольник ACK является прямоугольным.

Так как KD = 6 см, а KC = 9 см, то DC = KD + KC = 6 + 9 = 15 см.

Так как KB = 7 см, а KC = 9 см, то BC = KB + KC = 7 + 9 = 16 см.

Теперь по теореме Пифагора в треугольнике ACK: AK^2 = AC^2 - KC^2 = CK^2 + AC^2.

Из условия задачи CK = 9 см, AC = BC = 16 см.

Тогда AK^2 = 9^2 + 16^2 = 81 + 256 = 337, откуда AK = sqrt(337).

Теперь найдем расстояние между точкой K и плоскостью ABCD.

Так как плоскость ABCD параллельна прямой AK, то расстояние между ними равно расстоянию между точкой H и плоскостью ABCD.

Подставим значения сторон треугольника CKD в формулу расстояния от точки до плоскости: d = |CKD * AC| / sqrt(AC^2 + BC^2), где CKD - обозначение векторного произведения векторов CK и CD.

CKD = (0, -CK, -CD) = (0, -9, -15), AC = (0, 16, 0), BC = (7, 0, 0)

Подставим все в формулу: d = |(-90 + 0(-15) + 0*16)| / sqrt(256 + 49) = 0 / sqrt(305) = 0.

Итак, расстояние от точки K до плоскости ABCD равно 0.

Расстояние между прямой AK и отрезком CD равно расстоянию между точкой H и отрезком CD.

Положим, что это расстояние равно x.

Тогда находим x: x^2 = CH^2 - CK^2 = CH^2 - 9^2 = CH^2 - 81, CH = BC = 16 см.

Отсюда x = sqrt(256 - 81) = sqrt(175).

Итак, расстояние между прямой AK и отрезком CD равно sqrt(175) см.