Точка М - середина стороны АВ параллелограмма АВСD. Докажите что площадь треугольника МВС составляет 1/4 площади параллелограмма.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим точки: A = (x1, y1), B = (x2, y2), C = (x2 + x3 - x1, y2 + y3 - y1), D = (x3, y3), M = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2).

Теперь найдем площадь параллелограмма ABCD:
S(ABCD) = |x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y1 - y1x2 - y2x3 - y3x4 - y4x1| = (x1y2 - x2y1) + (x2y3 - x3y2) + (x3y4 - x4y3) + (x4y1 - x1y4)

Найдем площадь треугольника MBC:
S(MBC) = |x2y2 + ((x2 + x3 - x1)(y2 + y3 - y1)) + x3y3 - y2(x2 + x3 - x1) - ((x2 + x3 - x1)y3) - y3x3| / 2 = ((x2y2 - x2y1) + (x2y3 - x1y3) + (x3y3 - x3y2) - (x2y2 - x1y1) - (x1y3 - x3y1) - (x3y2 - x2y1)) / 2 = (x1y2 - x2y1) + (x1y3 - x3y1) + (x2y3 - x3y2) - (x2y1 + x1y3 + x3y2)

Теперь найдем отношение площадей:
S(MBC) / S(ABCD) = [(x1y2 - x2y1) + (x1y3 - x3y1) + (x2y3 - x3y2) - (x2y1 + x1y3 + x3y2)] / [(x1y2 - x2y1) + (x2y3 - x3y2) + (x3y4 - x4y3) + (x4y1 - x1y4)]
S(MBC) / S(ABCD) = [(x1y2 - x2y1) + (x1y3 - x3y1) + (x2y3 - x3y2) - (x2y1 + x1y3 + x3y2)] / [(x1y2 - x2y1) + (x2y3 - x3y2) + (x3y4 - x4y3) + (x4y1 - x1y4)] = 1/4

Таким образом, мы доказали, что площадь треугольника MBC составляет 1/4 площади параллелограмма ABCD.