На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М – середина стороны. а) Докажите, что СМ =1/2DK. б) Найдите расстояние от точки М до центров квадратов, если АС=6, ВС=10 и угол АСВ равен 30°.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Так как AM = MC, то треугольник AMC – равнобедренный. Также, так как ACDE – квадрат, то DK = CE. Следовательно, СМ = 1/2 DK.

б) Так как угол АСВ равен 30°, то угол BСA также равен 30°, так как треугольник АВС равнобедренный. Тогда, так как угол ВСК равен 90°, то угол ВКС равен 60°.

Заметим, что треугольник BKM – равносторонний, так как угол ВКМ равен 60° и стороны BM и BK равны. Следовательно, BM = BK = CK = 5.

Также заметим, что треугольник CKD – равнобедренный, и CD = CK = 5. Тогда, DK = 5√3.

Так как СМ = 1/2 DK, то СМ = 5√3 / 2.

Теперь найдем расстояние от точки М до центров квадратов. Для квадрата ACDE это будет МЕ, а для квадрата BFKC это будет МK.

Так как треугольник BMK – равносторонний, то МK = BK = 5.

Также, так как СМ = 5√3 / 2, а угол МСЕ = 90°, то по теореме Пифагора получаем, что МЕ = √((МС)^2 + (СЕ)^2) = √((5√3/2)^2 + 6^2) = √(75/4 + 36) = √(111/4) = √111 / 2.

Итак, расстояние от точки М до центра квадрата ACDE равно √111/2, а до центра квадрата BFKC равно 5.