SABCD - четырёхугольная пирамида, все рёбра которой равны 12 см. P принадлежит AB. BP:PA = 1:2. Постройте сечение плоскостью, проходящей через P и перпендик. SB. Вычислите периметр сечения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку BP:PA = 1:2, то отрезки BP и PA равны соответственно 4 см и 8 см. Таким образом, треугольник ABP является прямоугольным с гипотенузой 12 см и катетами 4 см и 8 см.

Посчитаем длину катета AP
AP = √(AB² - BP²) = √(12² - 4²) = √(144 - 16) = √128 = 8√2 см

Теперь можем вычислить периметр сечения пирамиды
Периметр сечения = AB + BP + AP + P
Периметр сечения = 12 + 4 + 8√2 + PS

Так как PS является высотой треугольника ABP, который прямоугольный, то PS = AS = √(AP² - SP²). Поскольку PS перпендикулярно SB, его проекция на SB равна SP, и угол PSB прямой. Отсюда следует, что треугольники PSB и APB подобны, и можно записать следующее равенство пропорций:

PS/AS = SB/A
PS/AP = SB/(AB+BP)

Поскольку SB равно одной из боковых граней пирамиды, то SB = CD = 12 см. Подставляя известные значения в пропорции, получим:

PS/(8√2) = 12/1
PS/(8√2) =
PS = 8√2

И, наконец
Периметр сечения = 12 + 4 + 8√2 + 8√2 = 16 + 16√2 см