В равнобедренном треугольнике угол при основании равен альфа. Найдите отношение радиусов описанной около треугольника и вписанной в треугольник окружностей.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус описанной около треугольника окружности через R, а радиус вписанной в треугольник окружности через r.

Из свойств равнобедренного треугольника мы знаем, что биссектриса угла при основании треугольника является также его медианой и высотой, а также делит основание на две равные части. Таким образом, мы можем построить прямоугольный треугольник с гипотенузой R + r и катетами R и r.

Из подобия треугольников получаем:

(R + r) / R = R / r

Раскрыв скобки, получим:

1 + r/R = R / r

Перенеся все члены уравнения в одну часть, получим:

R^2 - r^2 = Rr

По теореме косинусов для треугольника, описанного около треугольника:

( R = \frac{a}{2\sin\alpha} )

По теореме о площади равнобедренного треугольника:

( \frac{a}{2} = r\tan\frac{\alpha}{2} )

Таким образом, получаем:

( R = \frac{r}{2\sin\alpha} )

Подставим это в уравнение R^2 - r^2 = Rr:

( \frac{r^2}{4\sin^2\alpha} - r^2 = \frac{r^2}{2\sin\alpha} )

Решив это уравнение, найдем отношение радиусов описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника.