Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=14 и HD=21.Диагональ параллелограмма BD равна 29.Найдите площадь пареллелограмма

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Построим рисунок для данной задачи:

Из условия имеем, что BH параллельна стороне AD, поэтому треугольники AHB и CHD подобны соответственно треугольникам ABC и ADC.

Из подобия треугольников получаем соотношение сторон:

AH/HD = AB/BC = 14/21 = 2/3

Также, из подобия треугольников следует, что углы AHB и CHD равны. Тогда угол AHB равен arctg(2/3).

Из прямоугольного треугольника ABH находим AB = AH tg(AHB) = 14 tg(arctg(2/3)) = 14 * 2/3 = 28/3

Теперь можем найти сторону CD равную AH + HD = 14 + 21 = 35.

Из теоремы косинусов находим диагональ BD:

BD^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC * cos(ABD)

29^2 = (28/3)^2 + 35^2 - 2 (28/3) 35 * cos(ABD)

841 = 784/9 + 1225 - 1960/3 * cos(ABD)

621 = 1225 - 1960/3 * cos(ABD)

1960/3 * cos(ABD) = 1225 - 621 = 604

cos(ABD) = 604 * 3 / 1960 = 1 - 2013 / 1960 = 947 / 1960

ABD = arccos(947 / 1960)

Ответ: Площадь параллелограмма равна площади треугольника AHD умноженной на 2: S = 2 (1/2 AH HD) = 2 (1/2 14 21) = 294.