В треугольниках ABC и MKE отрезки СО и EH медианы, BC=KE, угол В равен углу К и угол С равен углу E. Доказать, что треугольник СО равен треугольнику MEH

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Так как BC=KE, угол В равен углу К и угол С равен углу E, то треугольники ABC и MKE подобны по первому признаку.

Чтобы доказать, что треугольник СО равен треугольнику MEH, достаточно доказать, что сторона СО параллельна стороне EH и соответствующие медианы делятся в одинаковом отношении.

Пусть точка P - точка пересечения медиан треугольника СО, а точка Q - точка пересечения медиан треугольника MEH.

Так как медианы делятся в отношении 2:1, то BP = 2PC и EQ = 2QH.

Поскольку ABP и MKE подобны, то BP/KE = AP/MK = 2/3, а следовательно AP = 2/3 * MK.

Аналогично, в треугольнике МЕН (ABQ) соответствующая медиана делит сторону НЕ в отношении 2:1, поэтому AN = 2/3 * MK.

Значит, AP = AN и BC || EH, следовательно, по критерию подобия треугольников треугольники СО и MEH равны.

Таким образом, мы доказали, что треугольники СО и MEH равны.