В четырехугольнике АВСD вписана окружность, АВ=49, CD=47. Найдите периметр чеьырехугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи нам необходимо использовать формулу для нахождения периметра четырехугольника, вписанного в окружность:

Периметр четырехугольника ABCD равен сумме всех его сторон: AB + BC + CD + DA.

Заметим, что стороны AB и CD являются диаметрами окружности, проведенными через ее центр. Поэтому они взаимно перпендикулярны и их сумма равна диаметру окружности. Таким образом, AB + CD = диаметр окружности.

Для нахождения периметра нам нужно найти диаметр окружности. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABD:

AB^2 + BD^2 = AD^2,
49^2 + BD^2 = AD^2,
2401 + BD^2 = AD^2.

Аналогично для прямоугольного треугольника BCD имеем:

BC^2 + CD^2 = BD^2,
BC^2 + 47^2 = BD^2.

Так как AB + CD = диаметр окружности, получаем:

2401 + BD^2 + BC^2 + 47^2 = (AB + CD)^2,
2401 + BD^2 + BC^2 + 2209 = 49^2 + 47^2,
BD^2 + BC^2 = 2401.

Таким образом, BD^2 = 2401 - BC^2.

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение для прямоугольного треугольника ABD:

2401 + 2401 - BC^2 = AD^2,
4802 - BC^2 = AD^2.

Аналогично для прямоугольного треугольника BCD:

BC^2 + 47^2 = BD^2,
BC^2 + 2209 = 2401 - BC^2,
2BC^2 = 192,
BC^2 = 96.

Подставляем полученное значение BC^2 в уравнение для треугольника ABD:

4802 - 96 = AD^2,
4706 = AD^2,
AD = sqrt(4706) = 68.59.

Теперь находим диаметр окружности:

AB + CD = 49 + 47 = 96.

И, наконец, находим периметр четырехугольника ABCD:

AB + BC + CD + DA = 49 + 68.59 + 47 + 68.59 = 233.18.

Периметр четырехугольника ABCD равен 233.18.