В параллелограмме АВСД биссектрисы углов В и С пересекаются в точке Е, лежащей на отрезке АД. Найдите площадь параллелограмма, если ВЕ=3, а СЕ=6.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны параллелограмма следующим образом: AB = a, AD = b.

Так как точка E лежит на биссектрисах углов B и C, то она делит сторону AD пополам: AE = DE = b/2.

Также, так как BE = 3, а CE = 6, то мы можем найти BC, используя теорему косинусов
BC^2 = BE^2 + CE^2 - 2BECEcos(angleBEC) = 3^2 + 6^2 - 236cos(90) = 45
BC = sqrt(45) = 3*sqrt(5).

Из прямоугольного треугольника ABE мы можем найти сторону AB
AB^2 = AE^2 + BE^2 = (b/2)^2 + 3^2 = b^2/4 + 9
AB = sqrt(b^2/4 + 9).

Теперь выразим площадь параллелограмма через стороны a и b
S = ab = ABAE2 = sqrt(b^2/4 + 9) b/2 2 = bsqrt(b^2/4 + 9).

Из того, что BC = 3sqrt(5), можно выразить сторону a
a = BC + DE = 3sqrt(5) + b/2.

Теперь подставим a и найденное значение S в выражение для S
S = (3sqrt(5) + b/2)bsqrt(b^2/4 + 9) = 3bsqrt(5b^2 + 180 + b^4 + 36)/2.

Теперь можем выразить площадь через б
S = (3b/2)*sqrt(5b^2 + 180 + b^4 + 36).

Таким образом, площадь параллелограмма АВСД равна (3b/2)*sqrt(5b^2 + 180 + b^4 + 36).