В равнобедренном треугольнике ABC основание BC равно 18см, медианы BN и CM пересекаются в точке O и угол OBC=30градусам. Найти медианы.Найдите через теорему косинусов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка O делит медиану BN в отношении k:1, тогда медиана CM делится точкой O в отношении 1:k.

По условию треугольник ABC равнобедренный, т.е. углы при основании равны между собой, поэтому угол BAC = 180 - 2*30 = 120 градусов.

Используем теорему косинусов в треугольнике ABC:
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2ABACcos120
18^2 = BN^2 + CN^2 + 2BNCNcos60
324 = BN^2 + CN^2 + BN*CN

Также из подобия треугольников BNO и CMO (так как MO и NO делят медианы в одном отношении), получаем:
BN/CO = CN/BO = NO/MO = k

Теперь можно записать систему уравнений:
BN/CO = k
CO/BO = k
CN/BO = 1/k

Отсюда получаем:
BN = kCO
CO = BO/k
CN = BOk

Подставим это в уравнение из теоремы косинусов:
324 = k^2CO^2 + BO^2k^2 + BO^2

Учитывая, что BO = BC/2 = 9 и CO = 9/k, получаем:
324 = 81*(1+1/k^2) + 81/k^2
324 = 81 + 81 + 162/k^2
81 = 162/k^2
k^2 = 2
k = √2

Таким образом, медианы треугольника ABC равны:
BN = √2 9 = 9√2 см
CN = √2 9 = 9√2 см