Даны векторы a (-2;3;1) и b (1;4;-3),определить при каких значениях k угол между векторами a и a-kb а)острый б)тупой в)прямой

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения угла между векторами a и a-kb используем формулу косинуса угла между векторами:

cos(theta) = (a (a - kb)) / (||a|| ||a - kb||),

где а (*) b обозначает скалярное произведение векторов, ||a|| обозначает длину вектора a и определяется как sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2).

Для случая основого угла
cos(theta) = (a a) / (||a|| ||a||) = (-2 -2 + 3 3 + 1 1) / (sqrt((-2)^2 + 3^2 + 1^2) sqrt((-2)^2 + 3^2 + 1^2)) = (4 + 9 + 1) / sqrt(14) * sqrt(14) = 14 / 14 = 1.

Угол theta равен 0 градусов, что указывает на то, что угол между векторами a и a-kb равен 0 при любом значении k.

Для случая острого угла (0 < theta < 90 градусов)
В данном случае скалярное произведение векторов a и a-kb будет задавать положительное значение

(a (a - kb)) = (-2 (-2 - k) + 3 (3 - 4k) + 1 (1 + 3k)) = 4 + 3 - 9k + 1 + 3k = 8 - 6k
||a|| = sqrt(14)
||a - kb|| = sqrt((-2 - k)^2 + (3 - 4k)^2 + (1 + 3k)^2) = sqrt(4 + 4k + k^2 + 9 - 24k + 16k^2 + 1 + 6k + 9k^2) = sqrt(26k^2 - 14k + 14).

Тогда значение cos(theta) равно
cos(theta) = (8 - 6k) / (sqrt(14) * sqrt(26k^2 - 14k + 14))
cos(theta) > 0.

Для случая тупого угла (90 < theta < 180 градусов)
Скалярное произведение векторов a и a-kb будет отрицательным:

(a * (a - kb)) = (8 - 6k)
||a|| = sqrt(14)
||a - kb|| = sqrt(26k^2 - 14k + 14).

Тогда значение cos(theta) равно
cos(theta) = (8 - 6k) / (sqrt(14) * sqrt(26k^2 - 14k + 14))
cos(theta) < 0.

Итак, при k > 8/6 угол theta между векторами a и a-kb будет острый, при k < 8/6 угол theta будет тупым, при k = 8/6 угол theta равен 90 градусов.