Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Окружность с центром О касается сторон ромба ,а стороны ВС в точке Р. Вычислить радиус окружности если, BD= 20 cм ВР=8 см .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку окружность касается сторон ромба и точки Р, то она является вписанной окружностью ромба ABCD.

Заметим, что треугольник ВРО является прямоугольным, так как радиус окружности касается стороны ВС перпендикулярно. Таким образом, по теореме Пифагора для этого треугольника верно следующее уравнение:

|ВО|^2 = |ВР|^2 + |RO|^2
|ВО|^2 = 8^2 + r^2

Также, по свойствам окружности, радиус окружности является высотой треугольника BCD, опущенной из вершины C. Поэтому площадь треугольника BCD можно найти двумя способами: из площади ромба ABCD и из площади треугольника BCD.

С одной стороны, площадь ромба ABCD равна половине произведения его диагоналей:

S(ABCD) = (AC BD) / 2 = (2 R) * 20 / 2 = 20R

С другой стороны, площадь треугольника BCD равна половине произведения его высоты h (которая равна радиусу окружности) и основания ВС:

S(BCD) = (BC * h) / 2

Подставляем значения стороны ВС и радиуса в это уравнение, и получаем:

20R = (20 * r) / 2
20R = 10r
R = 10

Таким образом, радиус окружности равен 10 см.