Даны два треугольника ABC и MPK. угол А равен углу М и равны 90 градусам, угол С равен углу К, сторона ВС равна стороне КР, сторона АС равна половине стороны ВС. Найдите угол Р?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи, обозначим стороны треугольника ABC как a, b и c, а стороны треугольника MPK как m, p и k. Также обозначим угол BAC и угол MKP как α.

Известно, что угол A равен углу M и равен 90 градусов, следовательно, угол M равен 90 градусов. Также угол С равен углу К, а угол BAC равен углу MKP, обозначим их как α.

Из данных условий:

AC = 0.5 * BC,

AC = m + k sin(α),
BC = m + k cos(α).

Подставляем данные значения:

m + k sin(α) = 0.5 (m + k * cos(α)),

2m + 2k sin(α) = m + k cos(α),

m = 2k sin(α) - k cos(α).

Также, из условия С равно KР, имеем:

AC^2 + BC^2 = AB^2,
(m + k sin(α))^2 + (m + k cos(α))^2 = b^2,
m^2 + 2m k sin(α) + k^2 sin^2(α) + m^2 + 2m k cos(α) + k^2 cos^2(α) = b^2,
2m^2 + 2m k(sin(α) + cos(α)) + k^2 (sin^2(α) + cos^2(α)) = b^2,
2m^2 + 2m * k(sin(α) + cos(α)) + k^2 = b^2.

Подставляем значение m, которое мы нашли выше, и заменяем sin(α) + cos(α) на √2 * sin(45 + α):

2(2k sin(α) - k cos(α))^2 + 2(2k sin(α) - k cos(α)) k √2 sin(45 + α) + k^2 = b^2,
8k^2 sin^2(α) - 8k^2 sin(α) cos(α) + k^2 cos^2(α) + 8k^2 sin(α) cos(α) - 4k^2 cos^2(α) + k^2 = b^2,
8k^2 + k^2 = b^2,
9k^2 = b^2.

Отсюда следует, что b = 3k.

Теперь из уравнения AC = 0.5BC находим, что m = k.

Итак, стороны треугольника MKP равны m = k = x, a стороны треугольника ABC равны b = 3x. Тогда из условия CS = KR следует, что площадь не равно x, так как углы равны, соответственно, угол R = 45 градусов.