В остроугольном треугольнике АВС со сторонами АВ=18, ВС=12, АС=15 проведены высоты АА1, ВВ1, СС1, которые пересекаются в точке Н. Найдите отношение А1F : FB1, если точка F является точкой пересечения АА1 и СС1. РЕШЕНИЕ и РИСУНОК.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона
S = sqrt(p(p - AB)(p - BC)(p - AC)), где p - полупериметр треугольника.

p = (AB + BC + AC) / 2 = (18 + 12 + 15) / 2 = 45 / 2 = 22.5

S = sqrt(22.5 4.5 10.5 * 7.5) = sqrt(7087.5) ≈ 84.19

Теперь найдем высоту из вершины А к стороне ВС
h = 2S / AB = 2 * 84.19 / 18 ≈ 9.34

Аналогично найдем высоты из вершин B и C
h_B = 2S / BC = 2 84.19 / 12 ≈ 14.0
h_C = 2S / AC = 2 84.19 / 15 ≈ 11.22

После этого найдем отношение А1F к FB1:

Обозначим BF1 за х. Так как точка F - точка пересечения высот АА1 и СС1, она является центром тяжести треугольника АСС1.

Поэтому мы можем записать следующее уравнение:

х h_C = (12 - х) h

где h - высота из вершины А к стороне ВС

Решаем уравнение:

11.22x = 108 – 9.34x

20.56x = 108

x = 108 / 20.56 ≈ 5.25

Теперь находим отношение А1F к FB1:

А1F : FB1 = h – x : x = 9.34 – 5.25 : 5.25 ≈ 0.44 : 1

Ответ: отношение А1F к FB1 равно примерно 0.44 : 1.