Найти площадь круга, вписанного в равнобочную трапецию, если ее большее основание равно а, а угол при меньшем основании равен 120°.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть R - радиус вписанного круга, d1 - длина большего основания трапеции, d2 - длина меньшего основания трапеции.

Так как угол при меньшем основании равен 120°, то треугольник, образованный радиусом круга и сторонами трапеции, является равносторонним. Из этого следует, что длина стороны равностороннего треугольника равна R, а длина стороны трапеции равна R + R = 2R.

Так как трапеция равнобедренная, то d1 = d2 + 2*2R = a.

Из уравнений d1 = a и d1 = d2 + 2R получаем d2 = a - 2R.

Таким образом, мы получили, что вписанный круг описан около равностороннего треугольника и его радиус R равен d2/2 = (a - 2R)/2 = a/2 - R.

Заметим, что радиус R также равен половине разности оснований трапеции: R = (d1 - d2)/4 = (a - d2)/4.

Составим уравнение: R = a/2 - R.

Решаем уравнение и находим R = a/3.

Теперь, чтобы найти площадь круга, вписанного в трапецию, используем формулу площади круга: S = πR^2.

Подставляем найденное значение R и получаем S = π(a/3)^2 = πa^2/9.

Итак, площадь круга, вписанного в равнобочную трапецию, равна π*a^2/9.