В пространстве дано плоскость α и две точки А и В. Найдите геометрическое место точек P плоскости α , для которых прямые AP и BP образуют с плоскостью α равные углы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть координаты точек A и B равны A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂) соответственно. Тогда уравнения прямых AP и BP имеют вид:
AP: (x - x₁) / (x₂ - x₁) = (y - y₁) / (y₂ - y₁) = (z - z₁) / (z₂ - z₁),
BP: (x - x₂) / (x₁ - x₂) = (y - y₂) / (y₁ - y₂) = (z - z₂) / (z₁ - z₂).

Так как углы между прямыми AP и BP должны быть равными при пересечении их в точке P, то их направляющие векторы должны быть коллинеарными и иметь равные длины.

Получаем следующее условие:
(x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁) = λ(x₁ - x₂, y₁ - y₂, z₁ - z₂),
где λ - коэффициент пропорциональности между направляющими векторами.

Решая это уравнение относительно переменной λ, получаем:
λ = (x₂ - x₁) / (x₁ - x₂) = (y₂ - y₁) / (y₁ - y₂) = (z₂ - z₁) / (z₁ - z₂).
Так как прямые AP и BP должны лежать в плоскости α, то векторы (x - x₁, y - y₁, z - z₁) и (x - x₂, y - y₂, z - z₂) должны быть коллинеарными с нормальным вектором к плоскости α.

Таким образом, геометрическое место точек P, для которых углы между прямыми AP и BP равны углу между этими прямыми и плоскостью α, представляет собой линию на плоскости α, проходящую через точку, в которую пересекаются прямые AP и BP.