Докажите ,что радиус окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, равен радиусу окружности , проходящей через точку пересечения его высот и две вершины треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть у нас есть остроугольный треугольник ABC и его точка пересечения высот и двух вершин обозначим как H.

Тогда радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равен радиусу описанной окружности треугольника ABH (построим его).

Так как у треугольников ABC и ABH общая сторона AB и радиусы описанных окружностей равны, то треугольники ABC и ABH будут подобны.

Теперь рассмотрим треугольник HBC. Так как остроугольный треугольник ABC подобен треугольнику ABH, то у него также существует точка пересечения высот, равная H. Значит, треугольники HBC и HAB подобны.

Отсюда следует, что углы BHC и BAC равны, так как они соответственно равны углам BAH и BAC. А значит, окружность, описанная окружность ABC, а также окружность, проходящая через точку H, проходят через одни и те же точки A, B и C.

Итак, радиус окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника ABC, равен радиусу окружности, проходящей через точку пересечения его высот и две вершины треугольника.