Биссектрисы углов∠A и ∠D Паролеллограма ABCD пересекаются в точке M ∈ BC Найти стороны Паролеллограма если его P=36см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AM = x, BM = y, CM = z, DM = w.

Так как AM и DM - биссектрисы углов ∠A и ∠D, то можно записать следующие равенства:
∠BAM = ∠DAM = ∠CDA = ∠CBA, ∠ABD = ∠DBC = ∠ACD = ∠ADB.

Поскольку AM и DM пересекаются в точке M, а ∠AMC и ∠CMD смежные, то ∠AMC = 180 - (1/2)∠A - (1/2)∠D = 180 - (1/2)∠C - (1/2)∠B = ∠CMD (1).

Из теоремы синусов для AMС и CMD:
AM/sin∠ACM = MC/sin∠AMC; DM/sin∠CMD = MC/sin∠DMC.
Так как синус угла ∠ACM = sin∠DMC, то AM/MC = DM/MC, oтсюда AM=DM=x=w;
Значит, ∠ACM = ∠CMD, ∠ACM = 180 - ∠AMC = 180 - ∠CMD = ∠CMD (2).

(1)=(2) =>
180 - (1/2)∠A - (1/2)∠D = 180 - (1/2)∠C - (1/2)∠B,
∠A + ∠B = ∠C + ∠D.

Полагая AB = a, BC = b, DC = c, AD = d, получим систему уравнений:
a + b = c + d;
ab + bc = 36 =>
(a+b)(b) = 36 =>
ab + b^2 = 36 =>
a^2 + b^2 + 2ab = 36 =>
a^2 + b^2 = c^2 + d^2.

Таким образом, квадраты диагона лей параллелограмма равны сумме квадратов сторон.