Через про­из­воль­ную точку ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка про­ве­де­ны две пря­мые, па­рал­лель­ные бо­ко­вым сто­ро­нам. До­ка­зать, что пе­ри­метр по­лу­чен­но­го четырехугольника равен сумме бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC, и две параллельные прямые, проходящие через произвольную точку D и параллельные боковым сторонам треугольника. Обозначим точки пересечения этих прямых с сторонами треугольника как E, F, G, H.

Так как DE || BC, то по свойству параллельных прямых DE = BC. Аналогично, EH = AB = AC и FG = AC.

Теперь заметим, что фигура DEFG - параллелограмм, так как DE || FG и DG || EF. Значит, DE = FG и DG = EF.

Из этого следует, что площадь треугольника ABC равна площади четырехугольника DEFG, так как они имеют одинаковую высоту (из точки D) и равные основания (DE = FG = AB и DG = EF = AC).

Теперь посчитаем периметр четырехугольника DEFG:

DE + EF + FG + GD = BC + AC + AB + AC = 2AB + 2AC = 2*(AB + AC)

Из этого следует, что периметр четырехугольника DEFG равен сумме боковых сторон треугольника ABC.