AB и CD. -два взаимно перпендикулярных диаметра окружности. Хорда CB продолжена за точку B на отрезок BE, равный CB. Каково взаимоположние прямой DE и окружности ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Прямая DE будет касательной к окружности.

Доказательство:

Точка B - середина отрезка CE (так как BE=BC).Из точек A и E опущены перпендикуляры на DC, обозначим точки их пересечения I и H соответственно.Точки I, H и C лежат на одной прямой (так как углы ADI и CDH прямые).

Теперь рассмотрим треугольники ABH и AID. Они равны по сторонам и по углам (AD=AB, угол A = угол A, угол BHD = угол AID), поэтому у них равны соответствующие углы, в частности, угол HBD = угол ADI.

Возьмем точку D' из окружности так, чтобы она являлась точкой касания DE с окружностью. Тогда угол HBD = угол D'BD, и угол ADI = угол D'AI. Следовательно, угол D'AI = угол D'BD, что означает, что D'C касается окружности в точке D'.

Таким образом, прямая DE является касательной к окружности.